Question

10．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F₁作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若A恰好是F₁B的中点，则双曲线的离心率是2．

Answer 1

分析 A恰好是F₁B的中点，借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．

解答 解：如图F₁B⊥OA，A为线段F₁B的中点，所以∠2=∠4，
又∠1=∠3，
∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．
故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°
所以$\frac{b}{a}=\sqrt{3}$．
所以e²=1+3=4，
所以e=2．
故答案为：2．

点评 本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．