Question

19．某公司生产的甜味和咸味两种饼干在市场上深受欢迎，每年生产的这两种饼干能在市场上全部售完，该公司的年产量为6千箱，已知甜味饼干每箱的利润y₁（元）与销售产量x（千箱）之间的函数关系满足：y₁=$\left\{\begin{array}{l}{3x+18（0≤x≤2）}\\{-x+26（2≤x≤6）}\end{array}\right.$，咸味饼干每箱的利润y₂（元）与销售产量t（千箱）之间的函数关系满足：y₂=$\left\{\begin{array}{l}{20（0≤t≤2）}\\{-t+22（2≤t≤6）}\end{array}\right.$．
（1）①用含x的代数式表示t，则t=6-x；
②当0≤x≤4时，y₂与x的函数关系式为y₂=x+16，当4≤x≤6时，y₂=20；
（2）求每年该公司销售这两种饼干的总利润w（千元）与甜味饼干销售数量x（千箱）的函数关系式，并指出x的取值范围；
（3）该公司每年甜味，咸味饼干的销量各为多少时，可使公司的总利润最大？最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）①由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6-x；
②根据平均每件产品的利润y₂（元）与国外的销售数量t（千件）的关系y₂=$\left\{\begin{array}{l}{20（0≤t≤2）}\\{-t+22（2≤t≤6）}\end{array}\right.$及t=6-x即可求出y₂与x的函数关系：当0＜x≤4时，y₂=x+16；当4≤x＜6时，y₂=100；
（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6；
（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可．

解答 解：（1）①由题意，得x+t=6，
∴t=6-x；
②∵y₂=$\left\{\begin{array}{l}{20（0≤t≤2）}\\{-t+22（2≤t≤6）}\end{array}\right.$，
∴当0＜x≤4时，2≤6-x＜6，即2≤t＜6，
此时y₂与x的函数关系为：y₂=-（6-x）+22=x+16；
当4≤x＜6时，0＜6-x≤2，即0＜t≤2，
此时y₂=20．
（2）分三种情况：
①当0＜x≤2时，W=（3x+18）x+（x+16）（6-x）=2x²+8x+96；
②当2＜x≤4时，W=（-x+26）x+（x+16）（6-x）=-2x²+16x+96；
③当4＜x＜6时，W=（-x+26）x+20（6-x）=-x²+6x+120；
综上可知，W=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+8x+96，0＜x≤2}\\{-2{x}^{2}+16x+96，2＜x≤4}\\{-{x}^{2}+6x+120，4＜x＜6}\end{array}\right.$；
（3）当0＜x≤2时，W=2x²+8x+96=2（x+2）²+88，此时x=2时，W_最大=120；
当2＜x≤4时，W=-2x²+16x+96=-2（x-4）²+128，此时x=4时，W_最大=128；
当4＜x＜6时，W=-x²+6x+120=-（x-3）²+129，4＜x＜6时，W随x的增大而减小，W＜128；
∴x=4时，W_最大=128．
故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为128千元．
故答案为：6-x；x+16；4，6．

点评 本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，有一定难度．涉及到一次函数、二次函数的性质，分段函数等知识，进行分类讨论是解题的关键．