Question

20．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值和最小值：
（1）y=-3sinx，x∈R；
（2）y=2+cos$\frac{x}{2}$，x∈R；
（3）y=-$\frac{1}{2}$sin（3x+$\frac{π}{4}$），x∈R．

Answer 1

分析 根据三角函数的最值性质分别进行求解即可．

解答 解：（1）当sinx=1即x=$\frac{π}{2}$+2kπ时，函数取得最小值y=-3，
当sinx=-1即x=-$\frac{π}{2}$+2kπ时，函数取得最大值y=3，
即函数取的最大值的集合为{x|x=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z}，
即函数取的最小值的集合为{x|x=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z}，
（2）当cos$\frac{x}{2}$=-1即$\frac{x}{2}$=π+2kπ，即x=2π+4kπ时，函数取得最小值y=2-1=1，
当cos$\frac{x}{2}$=1即$\frac{x}{2}$=2kπ，即x=4kπ时，函数取得最大值y=3，
即函数取的最大值的集合为{x|x=4kπ，k∈Z}，
即函数取的最小值的集合为{x|x=2π+4kπ，k∈Z}；
（3）当sin（3x+$\frac{π}{4}$）=1即3x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，即x=$\frac{π}{12}+\frac{2kπ}{3}$时，函数取得最小值y=-$\frac{1}{2}$，
当sin（3x+$\frac{π}{4}$）=-1即3x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，即x=-$\frac{π}{4}$+$\frac{2kπ}{3}$时，函数取得最大值y=$\frac{1}{2}$，
即函数取的最大值的集合为{x|x=-$\frac{π}{4}$+$\frac{2kπ}{3}$，k∈Z}，
即函数取的最小值的集合为{x|x=$\frac{π}{12}+\frac{2kπ}{3}$，k∈Z．

点评 本题主要考查三角函数最值的求解，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．