Question

1．已知函数f（x）=x²，g（x）=-x²+bx-10（b＞0），且直线y=4x-4是曲线y=g（x）的一条切线．
（1）求b的值；
（2）求与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切的直线方程．

Answer 1

分析 （1）设出切点，求出导数，求得切线的斜率，结合切点在切线上和曲线上，联立方程组求得b；
（2）设出切线方程y=kx+m，联立切线方程和抛物线方程，得到x的方程，由判别式为0求解方程可得到k，m，则切线方程可求．

解答 解：（1）g（x）=-x²+bx-10的导数为g′（x）=-2x+b，
设切点为（m，n），则切线的斜率为b-2m=4，
又n=4m-6，n=-m²+bm-10，
解得b=0或8；
（2）设与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切的直线方程为y=kx+m．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，可得x²-kx-m=0，由相切的条件可得k²+4m=0，①
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y=-{x}^{2}-10}\end{array}\right.$，可得x²+kx+10+m=0，由相切的条件可得k²-4（10+m）=0，②
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y=-{x}^{2}+8x-10}\end{array}\right.$，可得x²+（k-8）x+10+m=0，由相切的条件可得（k-8）²-4（10+m）=0，③
由①②解得：k=±2$\sqrt{5}$，m=-5；
由①③解得：k=2，m=-1或k=6，m=-9．
当k不存在时，显然不成立．
则与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切的直线方程为：
y=±2$\sqrt{5}$x-5或y=2x-1或y=6x-9．

点评 本题考查利用导数求切线方程，主要考查导数的几何意义以及直线与抛物线相切的条件，是中档题．