Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\frac{a}{cosA}$=$\frac{{\sqrt{3}b}}{sinB}$．
（1）求A的大小；
（2）若a=3，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得tanA=$\sqrt{3}$，即可求A的大小；
（2）由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2$\sqrt{3}$．化为a+b+c=3+2$\sqrt{3}$（sinB+sinC）=3+2$\sqrt{3}$[sin（120°-C）+sinC]=6sin（C+30°）+3，再利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{a}{cosA}$=$\frac{{\sqrt{3}b}}{sinB}$，
∴由正弦定理可得tanA=$\sqrt{3}$，
∵0°＜A＜180°，
∴A=60°；
（2）由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2$\sqrt{3}$．
∴$\frac{a+b+c}{\frac{\sqrt{3}}{2}+sinB+sinC}$=2$\sqrt{3}$，
∴a+b+c=3+2$\sqrt{3}$（sinB+sinC）=3+2$\sqrt{3}$[sin（120°-C）+sinC]=6sin（C+30°）+3，
∵0＜C＜120°，
∴30°＜C+30°＜150°，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（C+60°）≤1
∴△ABC的周长∈（6，9]．

点评 本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．