Question

1．（I）若关于x的不等式|x+1|-|x-2|＞|a-3|的解集是空集，求实数a的取值范围；
（II）对任意正实数x，y，不等式$\sqrt{2x}+\sqrt{3y}$＜k$\sqrt{8x+6y}$恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用绝对值不等式，得出-3≤|x+1|-|x-2|≤3，根据关于x的不等式|x+1|-|x-2|＞|a-3|的解集是空集，即可求实数a的取值范围；
（II）不等式$\sqrt{2x}+\sqrt{3y}＜k\sqrt{8x+6y}$对正实数x，y恒成立，等价于$k＞\frac{{\sqrt{2x}+\sqrt{3y}}}{{\sqrt{8x+6y}}}$恒成立，利用柯西不等式$（{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}）（{8x+6y}）≥{（{\sqrt{2x}+\sqrt{3y}}）^2}⇒\frac{{\sqrt{2x}+\sqrt{3y}}}{{\sqrt{8x+6y}}}≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（I）∵||x+1|-|x-2||≤|（x+1）-（x-2）|=3，
∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3，
又原不等式的解集是空集，|a-3|≥3⇒a≥6或a≤0，
∴实数a的取值范围是（-∞，0]∪[6，+∞）
（II）由柯西不等式$（{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}）（{8x+6y}）≥{（{\sqrt{2x}+\sqrt{3y}}）^2}⇒\frac{{\sqrt{2x}+\sqrt{3y}}}{{\sqrt{8x+6y}}}≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
当且仅当$\frac{{\sqrt{8x}}}{{\frac{1}{2}}}=\frac{{\sqrt{6y}}}{{\sqrt{\frac{1}{2}}}}即8x=3y$时$\frac{{\sqrt{2x}+\sqrt{3y}}}{{\sqrt{8x+6y}}}$取最大值$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
又不等式$\sqrt{2x}+\sqrt{3y}＜k\sqrt{8x+6y}$对正实数x，y恒成立，等价于$k＞\frac{{\sqrt{2x}+\sqrt{3y}}}{{\sqrt{8x+6y}}}$恒成立，
∴$k＞\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．∴实数k的取值范围是$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，+∞}）$

点评 本题考查绝对值不等式，柯西不等式的运用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．