题目内容

16．已知函数f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$-…+$\frac{{x}^{2013}}{2013}$-$\frac{{x}^{2014}}{2014}$+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）在（0，1）上恰有一个零点B．f（x）在（0，1）上恰有两个零点
C．f（x）在（-1，0）上恰有一个零点D．f（x）在（-1，0）上恰有两个零点

分析 求得f（x）的导数，讨论x＜1时，导数的符号，判断单调性，计算f（0），f（1）和f（-1），可得符号，由零点存在定理，即可得到结论．

解答 解：函数f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$-…+$\frac{{x}^{2013}}{2013}$-$\frac{{x}^{2014}}{2014}$+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$，
可得f′（x）=1-x+x2-x3+…+x2012-x2013+x2014
=（1-x）+x2（1-x）+…+x2012（1-x）+x2014
=（1-x）（1+x2+…+x2012）+x2014，
当x＜1时，1-x＞0，f′（x）＞0，
可得f（x）在（-∞，1）上递增，
由f（0）=1＞0，可得f（1）＞0，即有f（x）在（0，1）无零点，则A，B均错；
由f（-1）=1-1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-…-$\frac{1}{2015}$＜0，又f（x）在（-1，0）递增，
由零点存在定理，可得f（x）在（-1，0）上恰有一个零点．
则C正确，D错误．
故选：C．

点评 本题考查函数的零点问题的解法，注意运用导数判断单调性，运用函数零点存在定理，考查推理能力和判断能力，属于中档题．

练习册系列答案
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（2）如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数t的取值范围．

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