Question

已知函数g（x）=alnx，f（x）=x³+x²+bx．
（1）若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当b=0时，设F（x）=

f(-x)，x＜1 g(x)，x≥1

，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数单调性的判断与证明,分段函数的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用函数的导数在区间[1，2]上有极值，即可得到不是单调函数，求实数b的范围；
（2）利用对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，转化为a的不等式，通过函数的最值，求实数a的取值范围；
（3）b=0，设F（x）=

f(-x)，x＜1 g(x)，x≥1

，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，得到

OP

•

OQ

=0，通过构造函数以及函数的导数的单调性，判断方程的解从而说明三角形斜边中点在y轴上．

解答： 解：（1）由f（x）=x³+x²+bx
得f'（x）=3x²+2x+b因f（x）在区间[1，2]上不是单调函数
所以f'（x）=3x²+2x+b在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0，
f′(x)=3x2+2x+b=3(x+

1

3

)2+b-

1

3

f′(x)max=16+b f′(x)min=5+b

∴-16＜b＜-5…（4分）
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，∴lnx＜x，即x-lnx＞0
∴a≤

x2-2x

x-lnx

恒成立，即a≤(

x2-2x

x-lnx

)min…（6分）
令f(x)=

x2-2x

x-lnx

，x∈[1，e]，求导得，f′(x)=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

，x∈[1，e]，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，0≤lnx≤1x+2-2lnx＞0，从而f′（x）≥0，
∴f（x）在[1，e]上为增函数，∴(

x2-2x

x-lnx

)min=f（1）=-1，
∴a≤-1．…（8分）
（3）由条件，F（x）=

-x3+x2，x＜1 alnx，x≥1

，
假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，
则P，Q只能在y轴两侧，…（9分）
不妨设P（t，F（t）），t＞0则Q（-t，t³+t²），且t≠1．
∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
∴

OP

•

OQ

=0，
∴-t²+F（t）（t³+t²）=0 （*），
是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．
①若0＜t＜1时，方程（*）为-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0，
化简得t⁴-t²+1=0，此方程无解；…（12分）
②若t＞1时，方程（*）为-t²+alnt（t³+t²）=0，
即

1

a

=(t+1)lnt，
设h（t）=（t+1）lnt，（t＞1），则h′（x）=lnt+

1

t

+1，
显然，当t＞1时，h′（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即（0，+∞），
∴当a＞0时，方程（*）总有解．
∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x） 上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）

点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的应用函数的单调性以及构造法的应用，难度比较大的综合题目．