题目内容
在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，AB⊥平面PAD，PD=AD，AB=2DC，E是PB的中点．求证：（1）CE∥平面PAD；
（2）平面PBC⊥平面PAB．
考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）取PA的中点F，连EF，DF，由已知条件推导出四边形DCEF是平行四边形，由此能证明CE∥平面PAD．
（2）由已知条件推导出DF⊥PA，DF⊥AB，进而能求出CE⊥平面PAB．由此能证明平面PBC⊥平面PAB．
（2）由已知条件推导出DF⊥PA，DF⊥AB，进而能求出CE⊥平面PAB．由此能证明平面PBC⊥平面PAB．
解答：
证明：
（1）取PA的中点F，连EF，DF．…2分
因为E是PB的中点，所以EF∥AB，且EF=
AB．
因为AB∥CD，AB=2DC，所以EF∥CD，…4分
EF=CD，
所以四边形DCEF是平行四边形，
从而CE∥DF，而CE?平面PAD，DF?平面PAD，
故CE∥平面PAD． …7分
（2）因为PD=AD，且F是PA的中点，所以DF⊥PA．
因为AB⊥平面PAD，DF?平面PAD，所以DF⊥AB．…10分
因为CE∥DF，所以CE⊥PA，CE⊥AB．
因为PA，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
所以CE⊥平面PAB．
因为CE?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．…14分
（1）取PA的中点F，连EF，DF．…2分因为E是PB的中点，所以EF∥AB，且EF=
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因为AB∥CD，AB=2DC，所以EF∥CD，…4分
EF=CD，
所以四边形DCEF是平行四边形，
从而CE∥DF，而CE?平面PAD，DF?平面PAD，
故CE∥平面PAD． …7分
（2）因为PD=AD，且F是PA的中点，所以DF⊥PA．
因为AB⊥平面PAD，DF?平面PAD，所以DF⊥AB．…10分
因为CE∥DF，所以CE⊥PA，CE⊥AB．
因为PA，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
所以CE⊥平面PAB．
因为CE?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．…14分
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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