Question

20．已知数列{a_n}，点（1，a₁），（2，a₂）…（n，a_n）…均在同一条斜率大于零的直线上，满足a₁=1，a₃=a${\;}_{2}^{2}$-4，则数列{a_n}的前n项和为n²．

Answer 1

分析 设直线方程为y=kx+b，k＞0，则a_n=kn+b，得到a_n-a_n-1=k，由等差数列的定义，得到数列{a_n}为递增的等差数列，再根据a₁=1，a₃=a${\;}_{2}^{2}$-4，求出公差，根据数列的前n项和公式计算即可．

解答 解：设直线方程为y=kx+b，k＞0，则a_n=kn+b，
∴a_n-a_n-1=k，
由等差数列的定义，
∴数列{a_n}为递增的等差数列，
由a₁=1，a₃=a${\;}_{2}^{2}$-4，得到1+2k=（1+k）²-4，
解得k=2，
∴a_n=2n-1，
∴数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
故答案为：n²

点评 本题考查了数列的函数特征和等差数列的前n项和公式，属于中档题．