Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

x=acosφ y=bsinφ

（a＞b＞0，φ为参数），已知曲线C上的点M（1，

3

2

）对应的参数φ=

π

3

．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，若点A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

）在曲线C上，求

1

ρ 2 1

+

1

ρ 2 2

的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）将M(1，

3

2

)及对应的参数ϕ=

π

3

，代入

x=acosϕ y=bsinϕ

，即可解得a，b．得到曲线C的参数方程为

x=2cosϕ y=sinϕ

（ϕ为参数）．利用三角函数的平方关系消去参数ϕ得到曲线C的直角坐标方程．
（II）将

x2

4

+y2=1化成极坐标方程为

ρ 2   cos2θ

4

+

ρ

2

sin2θ=1．把点A（ρ₁，θ），B(ρ2，θ+

π

2

)代入即可得出．

解答： 解：（I）将M(1，

3

2

)及对应的参数ϕ=

π

3

，代入

x=acosϕ y=bsinϕ

，可得

1=acos π 3 3 2 =bsin π 3

，
解得

a=2 b=1

，
∴曲线C的参数方程为

x=2cosϕ y=sinϕ

（ϕ为参数）．
∴消去参数ϕ得到曲线C的直角坐标方程为

x2

4

+y2=1． 
（II）将

x2

4

+y2=1化成极坐标方程为

ρ 2   cos2θ

4

+

ρ

2

sin2θ=1．
∵点A（ρ₁，θ），B(ρ2，θ+

π

2

)在曲线C上，
∴

ρ 2 1 cos2θ

4

+

ρ

2 1

sin2θ=1，

ρ 2 2 sin2θ

4

+

ρ

2 2

cos2θ=1，
∴

1

ρ 2 1

=

cos2θ

4

+sin2θ，

1

ρ 2 2

=

sin2θ

4

+cos2θ．
∴

1

ρ 2 1

+

1

ρ 2 2

=(

cos2θ

4

+sin2θ)+(

sin2θ

4

+cos2θ)=

5

4

．

点评：本题考查了曲线的参数方程与极坐标方程与普通方程的互化、三角函数的基本关系式，属于中档题．