题目内容

对于任意正整数n，证明：2(
n+1
-1)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＜2
n
．
考点：不等式的证明
专题：证明题,综合法
分析：先利用放缩法证明2（
k+1
-
k
）＜
1
k
＜2(
k
-
k-1
)，再利用叠加法，即可得出结论．
解答： 证明：∵2（
k+1
-
k
）=
2
k+1
+
k
＜
2
2
k
=
1
k
＜
2
k
+
k-1
=2（
k
-
k-1
）
∴2（
k+1
-
k
）＜
1
k
＜2(
k
-
k-1
)．
∴2（
2
-1）＜1＜2（1-0），
2（
3
-
2
）＜
1
2
＜2（
2
-1），
…
2（
n+1
-
n
）＜
1
n
＜2（
n
-
n-1
）
上面式子叠加即得结论2(
n+1
-1)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＜2
n
．
点评：本题考查不等式的证明，考查放缩法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知方程x2+2x-a=0，
（1）若方程在x∈[-2，1]内只有一解，求a的取值范围；
（2）若方程在x∈[-2，1]内有两解，求a的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
x=acosφ
y=bsinφ
（a＞b＞0，φ为参数），已知曲线C上的点M（1，
3
2
）对应的参数φ=
π
3
．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，若点A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+
π
2
）在曲线C上，求
1
ρ
2
1
+
1
ρ
2
2
的值．
证明：
n
k=1
1
k2
＜
5
3
，（n∈N*）．
已知函数f（x）=
1
2
ax2+x-a，x∈[
2
，2]，其中a为实数．
（1）求函数的最大值g（a）；
（2）若对于任意的非零实数a，不等式g（a）≥λg（
1
a
）恒成立，求实数λ的取值范围．
设定义在R上的函数f（x）对任意x，y∈R均满足：f(x)+f(y)=2f(
x+y
2
)，且f（0）=0，当x＞0时，f（x）＞0．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）在R上的单调性；
（3）若f（1）=1，且不等式f（-k•2x）+f（9+4x）≥2对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．
定义：函数f（x）与实数m的一种符号运算为：m*f（x）=f（x）[f（x+m）-f（x）]，已知：f（x）=
1
2
x2-3x-
3
4
，g（x）=4*f（x）+
7
2
x2．
（1）求g（x）的单调区间；
（2）若在x∈[0，2]上，g（x）＞2a-3恒成立，试求实数a的范围．
已知圆C：x2+y2+Dx-6y+1=0上有两点P、Q关于直线x-y+4=0对称．
（1）求圆C的半径；
（2）若OP⊥OQ，O为坐标原点，求PQ方程；
（3）直线l：（2m-1）x-（m-1）y+8m-6=0被圆C截得弦长最短时，求m的值．
函数y=3cosxcosx的最小正周期是
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网