Question

20．已知$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{3π}{4}$，0＜β＜$\frac{π}{4}$，且cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{3π}{4}$+β）=$\frac{7}{25}$．
（I）求sin2α的值
（Ⅱ）求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）根据诱导公式和二倍角公式即可得到sin2α=cos2（$\frac{π}{4}$-α）=2cos²（$\frac{π}{4}$-α）-1，代入可得，
（2）分别根据同角的三角函数关系，以及诱导公式和两角差的余弦公式即可求出．

解答 解：（1）∵cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，
∴sin2α=cos2（$\frac{π}{4}$-α）=2cos²（$\frac{π}{4}$-α）-1=2×$\frac{9}{25}$-1=-$\frac{7}{25}$
（2）∵$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{3π}{4}$，
∴-$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{4}$-α＜0，
∴sin（$\frac{π}{4}$-α）=-$\frac{4}{5}$，
∵0＜β＜$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{3π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$+β＜π，
∵sin（$\frac{3π}{4}$+β）=$\frac{7}{25}$，
∴cos（$\frac{3π}{4}$+β）=-$\frac{14}{25}$
∴sin（α+β）=-cos（$\frac{π}{2}$+α+β）=-cos[（$\frac{3π}{4}$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）]=-[-$\frac{14}{25}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{7}{25}$×（-$\frac{4}{5}$）]=$\frac{14}{25}$．

点评 本题考查诱导公式，二倍角公式，两角差的余弦公式，同角的三角函数的关系，属于中档题．