Question

20．已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，且a=1，b=$\sqrt{2}$，tanC=1，则△ABC外接圆面积为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$π
• B． $\frac{1}{3}$π
• C． π
• D． $\sqrt{3}$π

Answer 1

分析 由 tanC=1，根据同角三角函数的基本关系可得cosC和sinC的值，由余弦定理可求c，由正弦定理可得外接圆的半径，利用圆的面积公式即可计算得解．

解答 解：∵tanC=1，a=1，b=$\sqrt{2}$，
∴cosC=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}C}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由余弦定理可得：c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$=1，
∴由正弦定理可得2R=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴△ABC外接圆面积S=πR²=π×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{π}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，求出sinC是解题的关键，考查了转化思想，属于基础题．