Question

8．定义min{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≤b}\\{b，a＞b}\end{array}\right.$，若函数f（x）=min{x²-3x+3，-|x-3|+3}，且f（x）在区间[m，n]上的值域为[$\frac{3}{4}$，$\frac{7}{4}$]，则区间[m，n]长度的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{7}{4}$
• C． $\frac{11}{4}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 根据定义作出函数f（x）的解析式和图象，根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行判断即可．

解答 解：根据定义作出函数f（x）的图象如图：（蓝色曲线），
其中A（1，1），B（3，3），
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3-|x-3|，}&{x≤1或x≥3}\\{{x}^{2}-3x+3．}&{1＜x＜3}\end{array}\right.$，
当f（x）=$\frac{3}{4}$时，当x≥3或x≤1时，由3-|x-3|=$\frac{3}{4}$，得|x-3|=$\frac{9}{4}$，
即x_C=$\frac{3}{4}$或x_G=$\frac{21}{4}$，
当f（x）=$\frac{7}{4}$时，当1＜x＜3时，由x²-3x+3=$\frac{7}{4}$，得x_E=$\frac{5}{2}$，
由图象知若f（x）在区间[m，n]上的值域为[$\frac{3}{4}$，$\frac{7}{4}$]，则区间[m，n]长度的最大值为x_F-x_C=$\frac{5}{2}$-$\frac{3}{4}$=$\frac{7}{4}$，
故选：B．

点评 本题主要考查函数新定义的应用以及函数值域的求解，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．