Question

12．已知p：x²+2x-8＜0，q：（x-1+m）（x-1-m）≤0（m＞0）．
（1）使p成立的实数x的取值集合记为A，q成立的实数x的取值集合记为B，当m=2时，求A∩B；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可；（2）根据p是q的充分不必要条件，得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）因为x²+2x-8＜0，所以-4＜x＜2，
则A={x|-4＜x＜2}；…（2分）
因为（x-1+m）（x-1-m）≤0（m＞0），
所以1-m≤x≤1+m，
所以B={x|1-m≤x≤1+m}，…（4分）
当m=2时，B={x|-1≤x≤3}，…（6分）
所以A∩B={x|-1≤x＜2}．…（7分）
（2）因为p是q的充分不必要条件，
所以p⇒q且q推不出p，…（10分）
则$\left\{{\begin{array}{l}{1-m≤-4}\\{1+m≥2}\end{array}}\right.$，…（12分）
解得m≥5，
所以当m≥5时，q是p的必要不充分条件．…（14分）

点评 本题考查了充分必要条件，考查集合的交集的运算以及集合的包含关系，是一道中档题．