Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x，则f（x）的单调递增区间是

 

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Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：当x＜0时，-x＞0，结合当x≥0时，f（x）=x²-2x，可求出当x＜0时f（x）的解析式，进而得到f（x）在R上的解析式，结合二次函数的图象和性质，分别求出当x≥0时和当x＜0时f（x）的单调递增区间，最后综合讨论结果可得f（x）的单调递增区间．

解答： 解：当x＜0时，-x＞0，
由当x≥0时，f（x）=x²-2x，
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，
又∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-x²-2x，
∴f(x)=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

∵f（x）=x²-2x的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，
故当x≥0时，f（x）在（1，+∞）为增函数．
又∵f（x）=-x²-2x的图象是开口朝下，且以直线x=-1为对称轴的抛物线，
故当x＜0时，f（x）在（-∞，-1）为增函数．
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），
故答案为：（-∞，-1）和（1，+∞）

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，利用函数奇偶性的性质求函数的解析式，熟练掌握函数奇偶性的定义及性质，是解答的关键．