Question

12．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，点E为AD₁的中点，点F在AB上．若EF⊥平面AB₁C，则线段EF的长度等于$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，由正方体的性质可得：AO⊥平面BDD₁．可得AC⊥BD₁，可得BD₁⊥平面ACB₁．由EF⊥平面AB₁C，可得EF∥BD₁，可得EF为△ABD₁的中位线，即可得出．

解答 解：如图所示．
由正方体的性质可得：AO⊥平面BDD₁．
∴AC⊥BD₁，
同理可得BD₁⊥AB₁，又AC∩AB₁=A，
∴BD₁⊥平面ACB₁．
又EF⊥平面AB₁C，
∴EF∥BD₁，又点E为AD₁的中点，
∴点F为AB的中点，
而$B{D}_{1}=\sqrt{3}$AB，
∴EF=$\frac{1}{2}B{D}_{1}$=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中点题．