Question

2．设函数y=log_a（$\frac{x-3}{x+3}$）（a＞0，且a≠1）的定义域为[s，t），值域为（log_aa（t-1），log_aa（s-1）]，求a的取值范围．

Answer 1

分析 分析出函数的单调性，进而判断出底数的取值范围，进而根据函数的定义域为值域构造出方程组，将其转化为整式方程组后，构造函数，利用二次函数的图象和性质可得答案．

解答 解：∵s＜t
∴at-a＞as-a
又∵log_aa（t-1）＜log_aa（s-1），
∴0＜a＜1
又∵u=$\frac{x-3}{x+3}$=1-$\frac{6}{x+3}$在[s，t）上单调递增
∴y=log_a$\frac{x-3}{x+3}$在[s，t）上单调递减
∴$\frac{x-3}{x+3}$=ax-a有两个大于3的相异的根
即ax²+（2a-1）x+3-3a=0有两个大于3的相异的根
令h（x）=ax²+（2a-1）x+3-3a，
则$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\△=1-4a（2-a）＞0\\ h（3）=12a＞0\\ \frac{-2a-1}{2a}＞3\end{array}\right.$
解得0＜a＜$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，复合函数的单调性，方程根与函数零点的关系，二次函数的图象和性质，是函数问题比较综合的应用．