Question

4．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，S_n为前n天两只老鼠打洞长度之和，则S₅=（　　）

• A． $31\frac{15}{16}$
• B． $32\frac{15}{16}$
• C． $33\frac{15}{16}$
• D． $26\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列；小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，
前n天打洞之和为$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1，
同理，小老鼠每天打洞的距离$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n=2ⁿ-1+2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴S₅=2⁵+1-$\frac{1}{{2}^{4}}$=32$\frac{15}{16}$．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．