Question

11．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）一个零点为-2，当x∈[0，4]时最大值为0．
（1）求a，b的值；
（2）若对x＞3，不等式f（x）＞（m+2）x-m-15恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数的性质，函数的零点，列出方程求解即可．
（2）利用恒成立，通过对称轴与函数值以及判别式列出不等式或不等式组，求解即可．

解答 解：（1）f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的一个零点为-2，
又当x∈[0，4]时最大值为0．即另一个零点在[0，4]，则f（x）＜0（x∈（0，4）），f（4）=0，
即函数的两个零点分别为-2，4．
$\left\{\begin{array}{l}{4-2a+b=0}\\{16+4a+b=0}\end{array}\right.$
a=-2，b=-8         …（5分）
（2）由（1）知f（x）=x²-2x-8，x²-2x-8＞（m+2）x-m-15，
即x²-（m+4）x+7+m＞0对x＞3恒成立，则①$\left\{\begin{array}{l}\frac{m+4}{2}≤3\\ 9-3（m+4）+m+7≥0\end{array}\right.$
或②△=（m+4）²-4（m+7）≤0
解得①m≤2或 ②-6≤m≤2，综合得m的取值范围为（-∞，2]…（12分）
（注：亦可分离变量$m＜\frac{{{x^2}-4x+7}}{x-1}对x＞3恒成立$）

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，函数恒成立的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．