Question

6．已知各项都为正数的等比数列{a_n}满足$\frac{1}{2}$a₃是3a₁与2a₂的等差中项，且a₁a₂=a₃．
（ I）求数列{a_n}的通项公式；
（ II）设b_n=log₃a_n，且S_n为数列{b_n}的前n项和，求数列{${\frac{{1+2{S_n}}}{S_n}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等比数列的定义和等差中项即可求出{a_n}的通项公式，
（Ⅱ）根据对数的性质得到b_n=log₃a_n=n，再根据等差数列的前n项公式得到Sn，代入到${\frac{{1+2{S_n}}}{S_n}$，裂项求和即可．

解答 解：（I）设等比数列的公比为q，由题意知q＞0，且3a₁+2a₂=a₃，a₁a₂=a₃．
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+2{a}_{1}q={a}_{1}{q}^{2}}\\{{{a}_{1}}^{2}q={a}_{1}{q}^{2}}\end{array}\right.$
解得a₁=q=3，故a_n=3ⁿ，
（Ⅱ）b_n=log₃a_n=n，
∴Sn=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴${\frac{{1+2{S_n}}}{S_n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$+2=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）+2，
故数列{${\frac{{1+2{S_n}}}{S_n}$}的前n项和为T_n=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]+2n=2（1-$\frac{1}{n+1}$）+2n=$\frac{2{n}^{2}+4n}{n+1}$

点评 本题考查了等差数列的性质和前n项和公式和等比数列的通项公式和裂项求和，属于中档题．