Question

8．已知函数f（x）=x³+3x²-9x+m
（1）求函数f（x）=x³+3x²-9x+m的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在区间[0，2]上的最大值12，求函数f（x）在该区间上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导函数，直接由导函数大于0求解不等式得答案；
（2）由（1）可得f（x）在（0，2）上的单调性，求得极值，再求出f（0）、f（2）比较得答案．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1），
令f′（x）＞0，得x＞1或x＜-3；
令f′（x）＜0，得-3＜x＜1．
∴函数f（x）的增区间为：（-∞，-3），（1，+∞）；
（2）由（1）知，f′（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1），
令f′（x）=0，得x=1或x=-3（舍）．
当x在闭区间[0，2]变化时，f′（x），f（x）变化情况如下表

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		-	0	+
f（x）	m	单调递减	m-5	单调递增	2+m

∴当x=2时，f（x）取最大值f（x）_max=f（2）=m+2，由已知m+2=12，得m=10．
当x=1时，f（x）取最小值f（x）_min=f（1）=m-5=5．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．