几何特征与圆柱类似.底面为椭圆面的几何体叫做“椭圆柱．图1所示的“椭圆柱中.A′B′.AB和O′.O分别是上.下底面两椭圆的长轴和中心.F1.F2是下底面椭圆的焦点．图2是图1“椭圆柱的三视图及其尺寸.其中俯视图是长轴在一条水平线上的椭圆．(Ⅰ)若M.N分别是上.下底面椭圆的短轴端点.且位于平面AA′B′B的两侧．①求证:OM∥平面A′B′N,②求平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

几何特征与圆柱类似，底面为椭圆面的几何体叫做“椭圆柱”．图1所示的“椭圆柱”中，A′B′，AB和O′，O分别是上、下底面两椭圆的长轴和中心，F₁、F₂是下底面椭圆的焦点．图2是图1“椭圆柱”的三视图及其尺寸，其中俯视图是长轴在一条水平线上的椭圆．

（Ⅰ）若M，N分别是上、下底面椭圆的短轴端点，且位于平面AA′B′B的两侧．
①求证：OM∥平面A′B′N；
②求平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值；
（Ⅱ）若点N是下底面椭圆上的动点，N′是点N在上底面的投影，且N′F₁，N′F₂与下底面所成的角分别为α、β，请先直观判断tan（α+β）的取值范围，再尝试证明你所给出的直观判断．

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）（i）连结O′M，由已知条件推导出O′M⊥平面AA′B′B，ON⊥平面AA′B′B，所以O′M∥ON，由此能证明OM∥平面AA′B′B．
（ii）以O为原点，AB所在直线为x轴，OO′所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值．
（Ⅱ）当点N为下底面上椭圆的短轴端点时，tan（α+β）=-

；当点N为下底面上椭圆的长轴端点（如右顶点）时，tan(α+β)=-

，直观判断tan（α+β）的取值范围是[-

，-

]．由已知条件推导出∠N′F1N，∠N′F2N分别为N′F₁，N′F₂与下底面所成的角，∠N′F1N=α，∠N′F2N=β，由此能证明tan（α+β）的取值范围是[-

，-

]．

解答： （Ⅰ）（i）证明：连结O′M，O′N，∵O′O⊥底面A′B′N′，O′M?底面A′B′N′，
∴O‘O⊥O′M，∵O′M⊥A′B′，O′O?平面AA′B′B，A′B′?平面AA′B′B，A′B′∩O′O=O′，
∴O′M⊥平面AA′B′B，同理ON⊥平面AA′B′B，∴O′M∥ON，
又O′M=ON，∴四边形ONO′M为平行四边形，
又∵OM不包含于平面AA′B′B，O′N?平面AA′B′B，
∴OM∥平面AA′B′B．
（ii）解：由题意得AA′=

，底面上的椭圆的长轴长2

，短轴长为2，
如图，以O为原点，AB所在直线为x轴，OO′所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则有F₂（1，0，0），N（0，1，0），A′(-

，0，

)，B′(

，0，

)，

NA′

=(-

，-1，

)，

NB′

，0，

)，
∴

NA′

=（0

，-1，

），

NB′

，-1，

)，
∵z轴⊥平面ABN，∴取平面ABN的一个法向量

=(0，0，1)，
设平面A′B′N的一个法向量为

=(x，y，z)，
则

•

NA′

x-y+

z=0

•

NB′

x-y+

z=0

，取z=1，得

=(0，

，1)，
设平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

，

＞|=|

，
∴平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值为

．

（Ⅱ）解：当点N为下底面上椭圆的短轴端点时，
NF1=NF2=

，tanα=tanβ=

NN′

NF1

，
α=β=

，α+β=

2π

，tan（α+β）=-

；
当点N为下底面上椭圆的长轴端点（如右顶点）时，
NF₁=

+1，NF₂=

-1，
tanα=

NN‘

NF1

，tanβ=

MN′

NF1

-1

，
tan(α+β)=-

，
直观判断tan（α+β）的取值范围是[-

，-

]，
∵N′是点N在上底面的投影，∴N′N⊥上底面O′，
∵上下底面互相平行，∴N′N⊥平面ABN，
∴∠N′F1N，∠N′F2N分别为N′F₁，N′F₂与下底面所成的角，
∴∠N′F1N=α，∠N′F2N=β，
又∵NF₁，NF₂?平面ABN，∴NN′⊥NF₁，NN′⊥NF₂，
设NF₁=m，NF₂=n，则m+n=2

，且tanα=

，tanβ=

，
∴tan（α+β）=