Question

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于E，DB垂直BE交圆于点D．
（1）证明：DB=DC；
（2）设圆的半径为1，BC=

3

，延长CE交AB于点F，证明DC∥AB．

Answer 1

考点：圆內接多边形的性质与判定

专题：选作题,立体几何

分析：（1）连接DE．由于DB垂直BE交圆于点D，可得∠DBE=90°．即DE为圆的直径．由于∠ABC的角平分线BE交圆于点E，利用同圆中的弧圆周角弦之间的关系可得∠DCB=∠DBC，DB=DC．
（II）证明CF⊥AB，DC⊥CF，即可证明DC∥AB．

解答： （1）证明：如图所示，连接DE．
∵DB垂直BE交圆于点D，∴∠DBE=90°．
∴DE为圆的直径．
∵∠ABC的角平分线BE交圆于点E，
∴

BE

=

CE

，
∴

DB

=

DC

，
∴∠DCB=∠DBC，
∴DB=DC．
（2）解：由（1）可知：∠CDE=∠BDE，DE⊥BC，且平分BC，设中点为M，外接圆的圆心为点O．
连接OB，OC，则OB⊥AB．
在Rt△BOM中，OB=1，BM=

1

2

BC=

3

2

．
∴∠BOM=60°
∴∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°，
∴CF⊥AB
∵∠DCE=90°，
∴DC⊥CF，
∴DC∥AB．

点评：本题综合考查了圆的切线的性质、同圆中的弧圆周角弦之间的关系、垂径定理及其推论、直角三角形外接圆的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．