Question

18．如图，矩形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、BC、AD上（点E、F、G与矩形的顶点不重合且矩形的边AD足够长）．
（1）若AE=1，BE=2，试问：△EFG能否为等边三角形？若能，求出等边△EFG的边长；若不能，说明理由；
（2）若△EFG为等边三角形，且边长为2，求AE•BE的取值范围．

Answer 1

分析 （1）假设△EFG能为等边三角形，设AG=x，BF=y，推导出1+x²=4+y²=9+（x-y）²，从而y²+4=0，假设不成立，△EFG不能为等边三角形．
（2）设AE=x，BE=y，假设y＞x，推导出xy=2-y²＜2，再由x＞0．y＞0，能求出AE•BE的取值范围．

解答 解：（1）假设△EFG能为等边三角形，设AG=x，BF=y，
∵EG=EF=GF，AE=1，BE=2，
∴1+x²=4+y²=9+（x-y）²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{8+{y}^{2}=2xy}\\{5+{x}^{2}=2xy}\end{array}\right.$，
∴y²+4=0，这不成立，故假设不成立，
∴△EFG不能为等边三角形．
（2）设AE=x，BE=y，假设y＞x，
∵△EFG为等边三角形，且边长为2，
∴（4-x²）-（4-y²）+（x+y）²=4，
整理，得：xy=2-y²＜2，
∵x＞0．y＞0，∴xy＞0，
∴AE•BE的取值范围是（0，2）．

点评 本题考查等边三角形是否存在的判断，考查满足等边三角形时两边乘积取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意勾股定理的合理运用．