Question

10．已知锐角α，β满足$\frac{sinα}{cosβ}$+$\frac{sinβ}{cosα}$＜2，设a=tanαtanβ，f（x）=log_ax，则下列判断正确的是（　　）

• A． f（sinα）＞f（cosβ）
• B． f（cosα）＞f（sinβ）
• C． f（sinα）＜f（sinβ）
• D． f（cosα）＜f（cosβ）

Answer 1

分析 反证法的思想可得α+β＜$\frac{π}{2}$，进而可得sinα＜cosβ，a＜1，由对数函数的单调性可得．

解答 解：若锐角α，β满足α+β≥$\frac{π}{2}$，则α≥$\frac{π}{2}$-β，
∴sinα≥sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ，即$\frac{sinα}{cosβ}$≥1；
同理可得$\frac{sinβ}{cosα}$≥1这与$\frac{sinα}{cosβ}$+$\frac{sinβ}{cosα}$＜2矛盾，
故锐角α，β满足α+β＜$\frac{π}{2}$，即α＜$\frac{π}{2}$-β，
∴sinα＜sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ，
∴$\frac{sinα}{cosβ}$＜1且$\frac{sinβ}{cosα}$＜1，
∴0＜a=tanαtanβ=$\frac{sinα}{cosα}$•$\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{sinα}{cosβ}$•$\frac{sinβ}{cosα}$＜1，
∴f（x）=log_ax单调递减，
∴f（sinα）＞f（cosβ）
故选：A．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及反证法和函数的单调性，属中档题．