Question

9．设抛物线C：y²=4x，F为C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，求证：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$是一个定值（其中O为坐标原点）．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标F（1，0），通过l⊥x轴，l与x轴不垂直，设l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，求解数量积的值即可．

解答 证明：由C：y²=4x，可得F（1，0）
若l⊥x轴，则l：x=1，∴A（1，2），B（1，-2），∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1×1+2×（-2）=-3
若l与x轴不垂直，设l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}}\right.$消x得：ky²-4y-4k=0
∴${y_1}{y_2}=\frac{-4k}{k}=-4$从而${x_1}•{x_2}=\frac{{{y_1}^2}}{4}•\frac{{{y_2}^2}}{4}=\frac{{{{（{y_1}{y_2}）}^2}}}{16}=1$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=1-4=-3$
综上可知：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-3$（定值）

点评 本题考查向量与圆锥曲线的综合应用，考查分类讨论以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．