Question

给出下列结论：
动点M（x，y）分别到两定点（-3，0）、（3，0）连线的斜率之乘积为

16

9

，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F₁、F₂分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题中：
（1）曲线C的焦点坐标为F₁（-5，0）、F₂（5，0）；
（2）若∠F₁MF₂=90°，则S △F1MF2=32；
（3）当x＜0时，△F₁MF₂的内切圆圆心在直线x=-3上；
（4）设A（6，1），则|MA|+|MF₂|的最小值为2

2

；
其中正确命题的序号是：

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：由题意可得：

y

x+3

×

y

x-3

=

16

9

，化为

x2

9

-

y2

16

=1（x≠±3）．
（1）由曲线C的标准方程可得c=

9+16

=5，即可得出曲线C的焦点坐标；
（2）设|F₁M|=m，|F₁M|=n，m＞n，由于∠F₁MF₂=90°，可得

m2+n2=102 m-n=2×3

，

1

2

mn=16；
（3）设A为内切圆与x轴的切点，由于|F₂M|-|F₁M|=|F₂A|-|F₁A|=2a=6，|F₂A|+|F₁A|=2c=10，可得|F₂A|=8，|F₁A|=2，解得x_A，即可判断出；
（4）不妨设点M在双曲线的右支上，根据定义可得|MF₁|-|MF₂|=2a=6，可得|MA|+|MF₂|=|MA|+|MF₁|-6，当A、M、F₁三点共线时，|MA|+|MF₂|的最小值为|AF₁|-6．

解答： 解：由题意可得：

y

x+3

×

y

x-3

=

16

9

，化为

x2

9

-

y2

16

=1（x≠±3）．
（1）由曲线C的标准方程可得c=

9+16

=5，∴曲线C的焦点坐标为F₁（-5，0）、F₂（5，0），正确；
（2）设|F₁M|=m，|F₁M|=n，m＞n，∵∠F₁MF₂=90°，∴

m2+n2=102 m-n=2×3

，∴S △F1MF2=

1

2

mn=16；
（3）设A为内切圆与x轴的切点，∵|F₂M|-|F₁M|=|F₂A|-|F₁A|=2a=6，|F₂A|+|F₁A|=2c=10，∴|F₂A|=8，|F₁A|=2，∴5-x_A=8，解得x_A=-3．设圆心P，则PO⊥x轴，从而可得圆心在直线x=-3上，因此正确；
（4）不妨设点M在双曲线的右支上，∵|MF₁|-|MF₂|=2a=6，∴|MA|+|MF₂|=|MA|+|MF₁|-6，当A、M、F₁三点共线时，|MA|+|MF₂|的最小值为|AF₁|-6=

122

-6．因此不正确．
综上可得：正确命题的序号是（1）（3）．
故答案为：（1）（3）．

点评：本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角形的内切圆的性质、斜率计算公式，考查了转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．