Question

已知正数x，y满足x²+y²=1，则

1

x

+

1

y

的最小值为（　　）

• A、

  3 5

  2

• B、

  2

• C、

  5

• D、2

  2

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：令z=

1

x

+

1

y

＞0，由基本不等式可得z²≥4+

2

xy

，再由基本不等式可得

1

xy

≥2，可得z≥2

2

，取等号的条件一致，故可得．

解答： 解：∵正数x，y满足x²+y²=1，令z=

1

x

+

1

y

＞0，
可得z²=

1

x2

+

1

y2

+

2

xy

=

x2+y2

x2

+

x2+y2

y2

+

2

xy

=2+

y2

x2

+

x2

y2

+

2

xy

≥2+2

x2 y2 • y2 x2

+

2

xy

=4+

2

xy

，
当且仅当

y2

x2

=

x2

y2

即x=y时取等号，
而由题意可得1=x²+y²≥2xy可得

1

xy

≥2，当且仅当x=y时取等号，
∴z²≥4+4=8，∴z≥2

2

，当且仅当x=y时取等号，
∴

1

x

+

1

y

的最小值为2

2

，
故选：D

点评：本题考查基本不等式求最值，两次利用基本不等式是解决问题的关键，属中档题．