Question

已知函数f（x）=（ax+3）e^x（a≠0），其中e是自然对数的底数．
（1）若函数图象在x=0处的切线方程为2x+y-3=0，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设函数g（x）=

1

2

x-lnx+t，当a=-1时，存在x∈（0，+∞）使得f（x）≤g（x）成立，求t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=（ax+3+a）e^x，从而由题意得f′（0）=（3+a）e⁰=-2；从而求a；
（2）由导数f′（x）=（ax+3+a）e^x的正负讨论函数的单调区间；
（3）当a=-1时，f（x）=（-x+3）e^x，从而化f（x）≤g（x）为t≥（-x+3）e^x-

1

2

x+lnx；令F（x）=（-x+3）e^x-

1

2

x+lnx，从而化为函数的最值问题．

解答： 解：（1）∵f（x）=（ax+3）e^x，
∴f′（x）=（ax+3+a）e^x，
又∵函数图象在x=0处的切线方程为2x+y-3=0，
∴f′（0）=（3+a）e⁰=-2；
解得，a=-5；
（2）∵f′（x）=（ax+3+a）e^x，
∴①当a＞0时，解f′（x）＞0得，x＞-

3+a

a

；
故函数f（x）在（-∞，-

3+a

a

）上是减函数，在（-

3+a

a

，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，解f′（x）＞0得，x＜-

3+a

a

；
故函数f（x）在（-∞，-

3+a

a

）上是增函数，在（-

3+a

a

，+∞）上是减函数；
（3）当a=-1时，f（x）=（-x+3）e^x，
f（x）≤g（x）可化为t≥（-x+3）e^x-

1

2

x+lnx；
令F（x）=（-x+3）e^x-

1

2

x+lnx，
则F′（x）=（-x+2）e^x+

1

2x

（2-x）=（2-x）（e^x+

1

2x

）；
故F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
且当x→+∞时，F（x）→-∞；
故对任意t，都存在x∈（0，+∞）使得f（x）≤g（x）成立，
故t∈R．

点评：本题考查了导数的综合应用及存在性问题的处理方法应用，属于中档题．