已知向量$\overrightarrow{m}$=.$\overrightarrow{n}$=.函数f(x)=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$+2016的解析式.求函数f(x)的单调增区间,(2)在△ABC中.a.b.c分别是角A.B.C的对边.已知f(A)=2018.a=4.△ABC的面积为4$\sqrt{3}$.试判定� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$+2016
（1）化简f（x）的解析式，求函数f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f（A）=2018，a=4，△ABC的面积为4$\sqrt{3}$，试判定△ABC的形状，并说明理由．

分析（1）由函数f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$+2016，利用数量积运算性质、和差公式、倍角公式可得：f（x）=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$+1，再利用正弦函数的单调性即可得出．
（2）由f（A）=2018，可得：2$sin（2A+\frac{π}{6}）$+2017=2018，化为：$sin（2A+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，由于A∈（0，π），可得：2A+$\frac{π}{6}$=$π-\frac{π}{6}$，解得A．由a=4，△ABC的面积为4$\sqrt{3}$，可得$\frac{1}{2}bcsinA$=4$\sqrt{3}$，a²=b²+c²-2bccosA，代入化简解出即可得出．

解答解：（1）函数f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$+2016=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x+2016=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+2017=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$+2017，
由$-\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的单调增区间为：[kπ-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．
（2）由f（A）=2018，可得：2$sin（2A+\frac{π}{6}）$+2017=2018，化为：$sin（2A+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴2A+$\frac{π}{6}$∈$（\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}）$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$π-\frac{π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$．
∵a=4，△ABC的面积为4$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}bcsinA$=4$\sqrt{3}$，a²=b²+c²-2bccosA，
化为：bc=16，b²+c²-bc=16，
解得b=c=4，
∴△ABC是等边三角形．