题目内容

18．某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：
ABC
甲483
乙5510
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车品乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润．

分析 （1）根据原料的吨数列出不等式组，作出平面区域；
（2）令利润z=2x+3y，则y=-$\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$，结合可行域找出最优解的位置，列方程组解出最优解．

解答 解：（1）x，y满足的条件关系式为：$\left\{\begin{array}{l}{4x+5y≤200}\\{8x+5y≤360}\\{3x+10y≤300}\\{x∈N}\\{y∈N}\end{array}\right.$．
作出平面区域如图所示：

（2）设利润为z万元，则z=2x+3y．
∴y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{z}{3}$．
∴当直线y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{z}{3}$经过点B时，截距$\frac{z}{3}$最大，即z最大．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{4x+5y=200}\\{3x+10y=300}\end{array}\right.$得B（20，24）．
∴z的最大值为2×20+3×24=112．
答：当生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时，利润最大，最大利润为112万元．

点评 本题考查了简单的线性规划的应用，抽象概括能力和计算求解能力，属于中档题．

练习册系列答案
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