Question

已知函数f（x）定义在R上，对任意实数x有f（x+3）=-f（x）+2

2

，若函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，f（-1）=

2

，则f（2014）=

 

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件求出函数f（x）是偶函数，以及推断出函数的周期性，即可得到结论．

解答： 解：∵y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，
∴y=f（x）的图象关于直线x=0对称，即函数f（x）是偶函数，
∵f（x+3）=-f（x）+2

2

，
∴f（x+6）=-f（x+3）+2

2

=f（x），即函数的周期是6，
则f（2014）=f（336×6-2）=f（-2），
当x=-2时，f（-2+3）=-f（-2）+2

2

，
即f（1）=-f（-2）+2

2

，
∴f（-2）=2

2

-f（1）=2

2

-

2

=

2

，
故f（2014）=f（-2）=

2

，
故答案为：

2

．

点评：本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性和周期性是解决本题的关键．