Question

15．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{6}}$）=1，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosθ\\ y=-\sqrt{3}+2sinθ\end{array}$（θ为参数）．则直线l与圆C相交所得弦长为$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 分别把直线的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离d，利用弦长公式：弦长=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，即可得出．

解答 解：直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{6}}$）=1，
展开可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρsinθ+$\frac{1}{2}ρcosθ$=1，化为直角坐标方程：x+$\sqrt{3}$y-2=0．
圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosθ\\ y=-\sqrt{3}+2sinθ\end{array}$（θ为参数），
化为普通方程：$（x-2）^{2}+（y+\sqrt{3}）^{2}$=4，可得圆心$（2，-\sqrt{3}）$，半径r=2．
圆心C到直线l的距离d=$\frac{|2-3-2|}{2}$=$\frac{3}{2}$．
∴直线l与圆C相交所得弦长=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$．
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．