Question

6．如图，A，B是圆O上两点，延长AB至点C，满足AB=2BC=2，过C作直线CD与圆O相切于点D，∠ADB的平分线交AB于点E．
（I）求AE的长；
（II）若∠DBA=60°，求△BDE的面积．

Answer 1

分析 （I）由圆的弦切角定理和切割线定理，以及内角平分线的定义，计算即可得到所求AE的长；
（11）由两角对应相等，可得△CDB∽△CAD，即有对应边成比例，结合三角形的余弦定理和面积公式，计算即可得到所求面积．

解答 解：（I）由题可知∠CDB=∠DAB，∠EDA=∠EDB，
又∠CED=∠DAE+∠EDA，∠EDC=∠EDB+∠BDC
故∠CED=∠EDC，故CD=CE，
由AB=2BC=2，即有BC=1，AC=3，
可得CD²=CB•CA=3，即$CD=\sqrt{3}$，故$C{E}=\sqrt{3}$，
故AE的长为AC-CE=$3-\sqrt{3}$；
（11）因为直线CD与圆O相切于点D，
则∠CDB=∠DAC，则△CDB∽△CAD，
则$\frac{{{B}D}}{{{A}D}}=\frac{CD}{{{A}C}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}⇒{A}D=\sqrt{3}{B}D$，
设BD=m，${A}D=\sqrt{3}m$，
△ABD中，由余弦定理得3m²=m²+4-4mcos60°，
解之得m=1，由（I）知${B}{E}=\sqrt{3}-1$，
故所求△BDE的面积为$\frac{1}{2}$BE•BD•sin60°=$\frac{1}{2}（{\sqrt{3}-1}）•1•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3-\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查圆的弦切角定理和切割线定理、相似三角形的判定和性质及三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．