Question

4．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2$\sqrt{2}$，∠ABC=90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A-BD-C的平面角为θ（如图2），M、N分别是BD和BC中点．
（1）若E为线段AN上任意一点，求证：ME⊥BD；
（2）若θ=$\frac{π}{3}$，求AB与平面BCD所成角的正弦值．
（3）P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得$\frac{AP}{PB}$=$\frac{NQ}{QD}$=λ（λ∈R）．令PQ与BD和AN所成的角分别为θ₁和θ₂．求sinθ₁+sinθ₂的取值范围．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点N，连接AN交BD于M，利用线面垂直的判定定理证明BD⊥平面AMN即可．
（2）得到∠AMN是二面角A-BD-C的平面角θ，根据线面角的定义得到∠ABH是AB与平面BCD所成角，结合三角形的边角关系进行求解即可．
（3）根据条件得到θ₁+θ₂=$\frac{π}{2}$，利用消元法转化为三角函数，利用三角函数的性质进行求解即可．

解答 证明：（1）取BC的中点N，连接AN交BD于M，
∵BC=2AD=2AB=2$\sqrt{2}$，
∴四边形ABND是正方形，
∴AM⊥BD，MN⊥BD，
∵AM∩MN=M，
∴BD⊥平面AMN，
∵ME?平面AMN，
∴BD⊥ME，
解：（2）若θ=$\frac{π}{3}$，由（1）知∠AMN是二面角A-BD-C的平面角θ，
若θ=∠AMN=$\frac{π}{3}$，从而△AMN为等边三角形，
取MN的中点H，连接AH，
则AH⊥平面BCD，
连接BH，
则∠ABH是AB与平面BCD所成角，
则AB=$\sqrt{2}$，AM=MH=AN=1，
则AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则sin∠ABH=$\frac{AH}{AB}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
解：（3）在BN线段取点R使得$\frac{AP}{PB}=\frac{NR}{RB}=\frac{NQ}{QD}=λ（λ∈R）$
从而易得PR∥AN且RQ∥BDA，θ₁=∠PQR，θ₂=∠QPR
另一方面，AM⊥BD，MN⊥BD，从而θ=∠AMN．
∵AM⊥BD，MN⊥BD，AM∩MN=M，
∴BD⊥AN，
∵PR∥AN，RQ∥BD，
∴∠PRQ=$\frac{π}{2}$，
从而有θ₁+θ₂=$\frac{π}{2}$，
则sinθ₁+sinθ₂=sinθ₁+cosθ₁=$\sqrt{2}$sin（θ₁+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]．

点评 本小题主要考查线面垂直的应用，线面角的求解，以及立体几何与三角函数的综合问题，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．综合性较强，有一定的难度．