题目内容
20．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$ （t为参数），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=cos2θ}\end{array}\right.$（θ为参数）．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
分析 （1）由曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=cos2θ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用倍角公式可得y=cos2θ=2cos2θ-1=$2×（\frac{x}{4}）^{2}$-1，化简整理可得曲线C的普通方程，注意x的取值范围．
（2）直线l的普通方程为x-y+3=0，利用点到直线的距离公式可得：曲线C上的点到l的距离d=$\frac{|4cosθ-cos2θ+3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2（cosθ-1）^{2}-6|}{\sqrt{2}}$，即可得出．
解答 解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=cos2θ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴y=cos2θ=2cos2θ-1=$2×（\frac{x}{4}）^{2}$-1，
化为y=$\frac{{x}^{2}}{8}$-1，cosθ∈[-1，1]，可得x∈[-1，1]．
∴曲线C的普通方程为：y=$\frac{{x}^{2}}{8}$-1，x∈[-1，1]．
（2）直线l的普通方程为x-y+3=0，曲线C上的点到l的距离d=$\frac{|4cosθ-cos2θ+3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2（cosθ-1）^{2}-6|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
当cosθ=1时，d取得最大值3$\sqrt{2}$．
点评 本题考查了参数方程化为普通方程、倍角公式、和差公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=$\sqrt{3}$，AB=1，AD=2，∠BAD=120°，E，G，H分别是BC，PC，AD的中点．
11．可以将圆x2+y2=1变为椭圆$\frac{{x{'^2}}}{4}$+$\frac{{y{'^2}}}{9}$=1的伸缩变换为（ ）
| A． | $\left\{\begin{array}{l}x=2x'\\ y=3y'\end{array}\right.$ | B． | .$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}x'\\ y=\frac{1}{3}y'\end{array}\right.$ | C． | .$\left\{\begin{array}{l}x=4x'\\ y=9y'\end{array}\right.$ | D． | .$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{4}x'\\ y=\frac{1}{9}y'\end{array}\right.$ |
如图所示的几何体中，三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．
9．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），设点Q是曲线C上的一个动点，则它到直线l的距离的最小值为（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | B． | $\sqrt{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\frac{\sqrt{6}}{6}$ |