Question

7．已知椭圆C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的上、下两个焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线交椭圆于M，N两点，且△MNF₂的周长为8，椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M'，N'是直线l上的两点，且F₁M'⊥l，F₂N'⊥l，求四边形F₁M'N'F₂面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由△MNF₂的周长为8，求出a=2，再由$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）将直线l的方程y=kx+m代入到椭圆方程${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$中，得（4+k²）x²+2kmx+m²-4=0．由直线与椭圆仅有一个公共点，利用根的判别式求出m²=4+k²．由此利用弦长公式，结合已知条件能求出四边形F₁M'N'F₂面积的最大值．

解答 解：（1）因为△MNF₂的周长为8，所以4a=8，所以a=2．
又因为$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以$c=\sqrt{3}$，所以$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=1$，
所以椭圆C的标准方程为${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）将直线l的方程y=kx+m代入到椭圆方程${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$中，
得（4+k²）x²+2kmx+m²-4=0．
由直线与椭圆仅有一个公共点，知△=4k²m²-4（4+k²）（m²-4）=0，化简得m²=4+k²．
设${d_1}=|{FM'}|=\frac{{|{-\sqrt{3}+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，${d_2}=|{{F_2}N'}|=\frac{{|{\sqrt{3}+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
所以$d_1^2+d_2^2={（{\frac{{m-\sqrt{3}}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}}）^2}+$${（{\frac{{m+\sqrt{3}}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}}）^2}=\frac{{2（{{m^2}+3}）}}{{{k^2}+1}}$=$\frac{{2（{{k^2}+7}）}}{{{k^2}+1}}$，
${d_1}{d_2}=\frac{{|{-\sqrt{3}+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}•\frac{{|{\sqrt{3}+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$=$\frac{{|{{m^2}-3}|}}{{{k^2}+1}}=1$，
所以$|{M'N'}|=\sqrt{{{|{{F_1}{F_2}}|}^2}-{{（{{d_1}-{d_2}}）}^2}}$=$\sqrt{12-（{d_1^2+d_2^2-2{d_1}{d_2}}）}$=$\sqrt{\frac{{12{k^2}}}{{{k^2}+1}}}$．
因为四边形F₁M'N'F₂的面积$S=\frac{1}{2}|{M'N'}|（{{d_1}+{d_2}}）$，
所以${S^2}=\frac{1}{4}×\frac{{12{k^2}}}{{{k^2}+1}}×$$（{d_1^2+d_2^2+2{d_1}{d_2}}）$=$\frac{{3{k^2}（{4{k^2}+16}）}}{{{{（{{k^2}+1}）}^2}}}$．
令k²+1=t（t≥1），
则${S^2}=\frac{{3（{t-1}）[{4（{t-1}）+16}]}}{t^2}$=$\frac{{12（{t-1}）（{t+3}）}}{t^2}$=$\frac{{12（{{t^2}+2t-3}）}}{t^2}=12+12$$[{-3{{（{\frac{1}{t}-\frac{1}{3}}）}^2}+\frac{1}{3}}]$，
所以当$\frac{1}{t}=\frac{1}{3}$时，S²取得最大值为16，故S_max=4，
即四边形F₁M'N'F₂面积的最大值为4．

点评 本题考查椭圆方程求法，考查四边形面积的最大值的求法，考查椭圆、韦达定理、根的判别式、直线方程、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．