Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-lnx-2．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用导数的几何意义求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）先求出函数的导数，根据x的范围解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx-2，
f′（x）=x-$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=0，f（1）=-$\frac{3}{2}$，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-$\frac{3}{2}$；
（2）∵f′（x）=$\frac{{ax}^{2}-1}{x}$（x＞0），
a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{\sqrt{a}}{a}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{\sqrt{a}}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）递减，在（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞）递增．

点评 本题考查利用导数研究切线方程、函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，是一道基础题．