Question

15．已知函数f（x）=ax²-4（a为非零实数），设函数F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）（x＞0）}\\{-f（x）（x＜0）}\end{array}\right.$
（1）若f（-2）=0，求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，解不等式1≤|F（x）|≤2；
（3）设mn＜0，m+n＞0，试判断F（m）+F（n）能否大于0？

Answer 1

分析 （1）由条件利用f（-2）=0，求得a的值，可得F（x）的解析式．
（2）先判断|F（x）|是偶函数，|F（2）|=0，先求出当x＞0时，不等式的解集，可得不等式在R上的解集．
（3）由条件不妨设m＞0，则n＜0，且m²＞n²，计算F（m）+F（n）=am²+4-an²-4=a（m²-n²），从而得出结论．

解答 解：（1）∵f（-2）=0，∴4a+4=0，求得a=-1，∴f（x）=-x²+4，故F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+4，x＞0}\\{{x}^{2}-4，x＜0}\end{array}\right.$．   
（2）∵|F（-x）|=|F（x）|，∴|F（x）|是偶函数，故可以先求x＞0的情况．
当x＞0时，由|F（2）|=0，故当0＜x≤2时，解不等式1≤-x²+4≤2，得$\sqrt{2}$≤x≤$\sqrt{3}$；
x＞2时，解不等式1≤x²-4≤2，求得$\sqrt{5}$≤x≤$\sqrt{6}$；
综合上述可知原不等式的解集为{x|$\sqrt{2}$≤x≤$\sqrt{3}$，或$\sqrt{5}$≤x≤$\sqrt{6}$，或-$\sqrt{3}$≤x≤-$\sqrt{2}$，或-$\sqrt{6}$≤x≤-$\sqrt{5}$}．
（3）∵f（x）=ax²+4，∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{ax}^{2}+4，x＞0}\\{-{ax}^{2}-4，x＜0}\end{array}\right.$，
∵mn＜0，不妨设m＞0，则n＜0；又m+n＞0，∴m＞-n＞0，∴m²＞n²，
∴F（m）+F（n）=am²+4-an²-4=a（m²-n²）．
故当a＞0时，F（m）+F（n）能大于0，当a＜0时，F（m）+F（n）不能大于0．

点评 本题主要考查求函数的解析式的方法，分段函数的应用，一元二次不等式的解法，属于中档题．