Question

已知函数，，设.

（1）若在处取得极值，且，求函数h(x)的单调区间；

（2）若时函数h(x)有两个不同的零点x1,x2.

①求b的取值范围；②求证：.

Answer 1

 (1)因为，所以,

由可得a=b-3.                

又因为在处取得极值，

所以，              

所以a= -2,b=1 .                              

所以，其定义域为（0，+）

令得，                                 

当（0,1）时，，当（1,+），

所以函数h(x)在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减. 

（2）当时，，其定义域为（0，+）.

①由得，记，则,

所以在单调减，在单调增，

所以当时取得最小值.

又，所以时，而时,

   所以b的取值范围是（，0）.                           

②由题意得,

所以,

所以，不妨设x1<x2,

要证 ,   只需要证.

即证，设,

则,

所以,

所以函数在（1，+）上单调增，而，

所以即,

所以 .