Question

已知：由五个直角边为

2

的等腰直角三角形拼成如图所示的平面凹五边形ACDEF，沿AD折起，使平面ADEF⊥平面ACD．

（1）求证：FB⊥AD；
（2）求二面角C-EF-D的正切值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）作FO⊥AD于O，连结OB，由已知得O为AD中点，BO⊥AD，从而AD⊥平面FOB，由此能证明FB⊥AD．
（2）由已知得∠ADC=90°，CD⊥AD，CD⊥平面ADEF，作DM⊥EF，连结MC，则∠DMC是二面角C-EF-D的平面角，
由此能求出二面角C-EF-D的正切值．

解答： （1）证明：作FO⊥AD于O，连结OB，
∵等腰直角△AFD，∴O为AD中点，
∴等腰直角△ABD，∴BO⊥AD，
∵FO∩BO=O，∴AD⊥平面FOB，
∴FB⊥AD．
（2）解：∵等腰直角△ADB和等腰直角△CDB，
∴∠ADC=90°，∴CD⊥AD，
又∵平面ADEF⊥平面ACD，平面ADEF∩平面ACD=AD，
∴CD⊥平面ADEF，作DM⊥EF，连结MC，
∠DMC是二面角C-EF-D的平面角，
在Rt△MDC中，∠MDC=90°，MD=1，DC=2，
∴tan∠DMC=2，
∴二面角C-EF-D的正切值为2．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空思维能力的培养．