Question

若对于任意的实数x，a^cos2x+a2sin2x≥2恒成立，则正实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：化简a^cos2x+a2sin2x=

a

a2sin2x

+a2sin2x≥2

a

，利用基本不等式可知，

a

a2sin2x

+a2sin2x≥2

a

，所以a^cos2x+a2sin2x≥2恒成立，等价于2

a

≥2，解不等式即可确定a的取值范围．

解答： 解：∵a＞0，
∴a^cos2x+a2sin2x=a1-2sin2x+a2sin2x
=

a

a2sin2x

+a2sin2x≥2

a

，
∴a^cos2x+a2sin2x≥2恒成立，
等价于2

a

≥2，
即a≥1，
∴正实数a的取值范围为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．

点评：本题考查倍角公式，幂运算性质，基本不等式等知识的综合应用，以及恒成立问题的处理方法，属于中档题．