Question

13．过点P（$\sqrt{3}$，1）的直线l与圆x²+y²=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是[0，$\frac{π}{3}$]．

Answer 1

分析 根据直线的斜率分两种情况，直线l的斜率不存在时求出直线l的方程，即可判断出答案；直线l的斜率存在时，由点斜式设出直线l的方程，根据直线和圆有公共点的条件：圆心到直线的距离小于或等于半径，列出不等式求出斜率k的范围，可得倾斜角的范围．

解答 解：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x=$\sqrt{3}$，
此时直线l与圆相离，没有公共点，不满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-1=k（x-$\sqrt{3}$），
即 kx-y-$\sqrt{3}$k+1=0，
∵直线l和圆有公共点，
∴圆心到直线的距离小于或等于半径，则$\frac{|-\sqrt{3}k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，
解得0≤k≤$\sqrt{3}$，
∴直线l的倾斜角的取值范围是[0，$\frac{π}{3}$]，
故答案为[0，$\frac{π}{3}$]．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式等，考查转化思想，分类讨论思想，以及化简能力．