Question

8．已知函数f（x）=lg（x²+tx+2）（t为常数，且-2$\sqrt{2}$＜t＜2$\sqrt{2}$）．
（1）当x∈[0，2]时，求函数f（x）的最小值（用t表示）；
（2）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2）．若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令g（x）=x²+tx+2，要求函数f（x）的最小值，根据复合函数的单调性可知，只要求解函数g（x）的最小值即可，结合图象，需判断对称轴与区间[0，2]的位置关系，分类讨论；
（2）假设存在，则由已知等价于x²+tx+2=x在区间（0，2）上有两个不同的实根，分离参数，运用导数求出右边的最值和范围，即可得出结论．

解答 解：（1）令g（x）=x²+tx+2对称轴为x=-$\frac{t}{2}$，
①当-$\frac{t}{2}$≤0，即t≥0时，g（x）_min=g（0）=2，∴f（x）_min=lg2；
②当0＜-$\frac{t}{2}$＜2，即-4＜t＜0时，g（x）_min=g（-$\frac{t}{2}$）=2-$\frac{{t}^{2}}{4}$，
考虑到g（x）＞0，则
1°-2$\sqrt{2}$＜t＜0，f（x）_min=f（-$\frac{t}{2}$）=lg（2-$\frac{{t}^{2}}{4}$），
2°-4＜t≤-2$\sqrt{2}$，没有最小值．
③当-$\frac{t}{2}$≥2，即t≤-4时，g（x）_min=g（2）=6+2t，
考虑到g（x）＞0∴f（x）没有最小值．
综上所述：当t≤-2时f（x）没有最小值；
当t＞-2时，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{lg（2-\frac{{t}^{2}}{4}），-2\sqrt{2}＜t＜0}\\{lg2，0≤t＜2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
（2）假设存在，则由已知等价于x²+tx+2=x在区间（0，2）上有两个不同的实根，
等价于t=-（$\frac{2}{x}$+x）+1，x∈（0，2）
t′=-1+$\frac{2}{{x}^{2}}$，x∈（0，$\sqrt{2}$），t′＞0；x∈（$\sqrt{2}$，2），t′＜0．
x=$\sqrt{2}$取最大值1-2$\sqrt{2}$．x=2，t=-2．
可得-2＜t＜1-2$\sqrt{2}$．
故存在，实数t的取值范围是-2＜t＜1-2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了对数函数定义域的求解，复合函数单调性的应用及二次函数在闭区间上的最值的求解，要注意考虑对称轴与区间位置关系的讨论，二次方程的实根分布问题的应用，本题的综合性比较强．