Question

已知函数f（x）=log_a（2x+1）-log_a（1-2x）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；
（2）若函数y=f（x）与y=m-log_a（2-4x）的图象有且仅有一个公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先求出定义域，然后利用定义判断奇偶性；
（2）函数y=f（x）与y=m-log_a（2-4x）的图象有且仅有一个公共点?方程log_a

2x+1

1-2x

=m-log_a（2-4x）
在区间x∈（-

1

2

，

1

2

）上有且仅有一个实数解，讨论a的范围，利用对数函数的单调性求m 范围．

解答： 解：（1）f（x）的定义域为（-

1

2

，

1

2

），关于原点对称，
f（x）+f（-x）=log_a

2x+1

1-2x

+log_a

-2x+1

1+2x

=log_a1=0，所以f（-x）=-f（x），
所以f（x）是奇函数…（5分）
（2）函数y=f（x）与y=m-log_a（2-4x）的图象有且仅有一个公共点?方程log_a

2x+1

1-2x

=m-log_a（2-4x）
在区间x∈（-

1

2

，

1

2

）上有且仅有一个实数解，
m=log_a

2x+1

1-2x

+log_a2（1-2x）=log_a（4x+2）…（7分）
因为x∈（-

1

2

，

1

2

），所以0＜4x+2＜4
所以log_a（4x+2）∈（-∞，log_a4）或（log_a4，+∞）
∴当a＞1时，m∈（-∞，log_a4），
当0＜a＜1时，m∈（log_a4，+∞）…（12分）

点评：本题考查了函数奇偶性的判断以及对数函数单调性的运用，属于中档题．