Question

12．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=2，S₅=15，则数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前2017项和为（　　）

• A． $\frac{2016}{2017}$
• B． $\frac{2017}{2016}$
• C． $\frac{2017}{2018}$
• D． $\frac{2018}{2017}$

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂=2，S₅=15，可得a₁+d=2，$5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}$d=15，解得a₁，d，可得a_n，即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂=2，S₅=15，
∴a₁+d=2，$5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}$d=15，解得a₁=d=1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
则数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前2017项和=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}）$=1-$\frac{1}{2018}$=$\frac{2017}{2018}$．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．