Question

2．∠ACB=90°，平面ABC外有一点P，PC=4cm，点P到角的两边AC、BC的距离都等于2$\sqrt{3}$ cm，那么PC与平面ABC所成角的大小为45°．

Answer 1

分析 设P点在ABC平面投影点为O，过P点作BC边的垂线垂足为D，连接OP，OC，OD，根据，∠ACB=90°，平面ABC外一点P满足PC=4，P到两边AC，BC的距离都是2$\sqrt{3}$ cm，我们分别求出CD，OD，OP的长，进而解出∠PCO的大小，即可得到PC与平面ABC所成角的大小．

解答 解：设P点在ABC平面投影点为O，过P点作BC边的垂线垂足为D，
连接OP，OC，OD，如图所示：

则∠PCO即为PC与平面ABC所成角的平面角
∵P到两边AC，BC的距离都是2$\sqrt{3}$cm，
故O点在∠ACB的角平分线上，即∠OCD=45°
由于PC为4cm，PD为2$\sqrt{3}$cm，则CD为2cm．
则△PCD在底面上的投影△OCD为等腰直角三角形．
则OD=CD=2，然后得CO=2$\sqrt{2}$cm，
根据勾股定理得PO=2$\sqrt{2}$cm=CO，
∴∠PCO=45°．
故答案为：45°．

点评 本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中P点在ABC平面投影点为O，构造出∠PCO即为PC与平面ABC所成角的平面角，将线面夹角问题转化为解三角形问题是解答本题的关键．