Question

6．已知圆C：x²+y²+Dx+Ey+3=0关于直线x+y-1=0对称，半径为$\sqrt{2}$，且圆心C在第二象限．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）不过原点的直线l在x轴、y轴上的截距相等，且与圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用圆的一般方程求得圆心坐标，根据圆心直线x+y-1=0上，求得D、E的值，可得圆的半径，从而求得求圆C的方程．
（Ⅱ）设所求直线l的方程是x+y=a（a≠0），根据它与圆C相切，求得a的值，可得直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由C：x²+y²+Dx+Ey+3=0，得圆C的圆心为$C（{-\frac{D}{2}，-\frac{E}{2}}）$，∵圆C关于直线x+y-1=0对称，
∴-$\frac{D}{2}$-$\frac{E}{2}$-1=0，即D+E=-2…①．
∵圆C的半径为$\sqrt{2}$，∴$\frac{{{D^2}+{E^2}-12}}{4}=2$…②
又∵圆心C在第二象限，∴D＞0，E＜0，
由①②解得，D=2，E=-4，故圆C的方程为x²+y²+2x-4y+3=0．
（Ⅱ）由题意可设，所求直线l的方程是x+y=a（a≠0），
由（Ⅰ）得，圆C的圆心为C（-1，2），∵直线l与圆C相切，∴$\frac{{|{-1+2-a}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，
解得a=-1或a=3，故直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0．

点评 本题主要考查圆的一般方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．